[مفاهیم پایه] - فیزیک کوانتوم - ابزار ریاضی مکانیک کوانتومی

[P O U R I A]

با توجه به ناتوانی فیزیک کلاسیک در توصیف پدیده‌های یاد شده، حوزه‌ی جدیدی، به نام مکانیک کوانتومی، در فیزیک مکانیک پدیدار شد. برای بیان کمی خصوصیات مکانیک کوانتومی نیاز به ابزار ریاضی وجود دارد. در این راستا دو نوع فرمول‌بندی مختلف مورد توجه است: مکانیک موجی شرودینگر و مکانیک ماتریسی هایزنبرگ که به ترتیب عبارتند از نمایش فرمول‌بندی عمومی مکانیک کوانتومی در پایه‌ی پیوسته و پایه‌ی گسسته. در ادامه ابزارهای ریاضی مورد نیاز برای فرمول‌بندی‌ در پایه‌ی گسسته معرفی می شود.

 

[P O U R I A]

معادله‌ی شرودینگر، یک معادله‌ی خطی است و اساسی‌ترین معادله‌ی مکانیک کوانتومی می‌باشد. در مکانیک کوانتومی، عملگرهایی مورد توجه هستند که خطی باشند و تابع موج آن‌ها به فضای هیلبرت تعلق داشته باشد. به این ترتیب بررسی خواص ریاضی و ساختار فضای هیلبرت، برای درک مفاهیم مکانیک کوانتومی ضرورت دارد.
مکانیک کوانتومی بر دو فرمول بندیِ متفاوت که توسط شرودینگر و هایزنبرگ ارائه شد، استوار است. «مکانیک موجی شرودینگر» و «مکانیک ماتریسی هایزنبرگ» به ترتیب عبارتند از نمایش فرمول‌بندی عمومی مکانیک کوانتومی در پایه‌ی پیوسته و پایه‌ی گسسته.
در این مقاله برای توصیف ویژگی‌های فضای هیلبرت و معرفی عملگرها، از نمادگذاری بِرا-کِت دیراک استفاده می‌شود. هم‌چنین ریاضیات مربوط به نمایش کت‌ها، براها، برا-کت‌ها و عملگرها در پایه‌های گسسته و پیوسته معرفی می‌شود.

2- فضای هیلبرت
فضای هیلبرت، H ، شامل مجموعه بردارهای ψ، φ، χ و ...، و مجموعه اعداد a، b، c و ... است که چهار خاصیت زیر را برآورده می‌کند:

2-1- H یک فضای خطی است.
فضای خطی شامل دو مجموعه از عناصر و دو قانون جبری می‌باشد.

2-1-1- قانون جمع

• اگر ψ و φ بردارهایی از یک فضا باشند، مجموع آن‌ها نیز برداری در همان فضاست.

• جابه‌جایی:

• شرکت‌پذیری:

• وجود یک عنصر خنثا یا صفر: برای هر بردار ψ یک بردار صفر Ο وجود دارد، به گونه‌ای که:

(1)

​

​

• وجود یک بردار وارون یا متقارن: برای هر بردار ψ یک بردار متقارن -ψ وجود دارد، به گونه‌ای که:

(2)

​

​

- قانون ضرب

• حاصل‌ضرب یک کمیت نرده‌ای در یک بردار، بردار است. در حالت کلی اگر ψ و φ دو بردار در فضا باشند، هر ترکیب خطی از آن‌ها، aψ+bφ، نیز برداری در فضا خواهد بود؛ a و b نرده‌ای هستند.

• توزیع‌پذیری نسبت به جمع:

• شرکت‌پذیری نسبت به ضرب نرده‌ای‌ها:

• برای هر بردار ψ یک بردار واحد I و یک بردار صفر O وجود دارد، به گونه‌ای که:

(3)

(4)

 

[P O U R I A]

2-2- H دارای یک ضرب تعریف شده است که لزوماً مثبت می‌باشد.

ضرب نرده‌ای بردار ψ در بردار φ، یک کمیت نرده‌ای است که می‌تواند مختلط باشد. این کمیت با (ψ,φ) نشان داده می‌شود. ضرب نرده‌ای دارای خصوصیات زیر است:

• ضرب نرده‌ای ψ در φ، برابر است با مزدوج مختلط φ در ψ(مزدوج مختلط برای یک عدد مختلط، عدد مختلط دیگری است که علامت قسمت موهومی آن متفاوت است):
  

(5)

• ضرب نرده‌ای ψ در φ، نسبت به φ خطی است که به صورت زیر نوشته می شود:

(6)

که در آن تساوی فقط برای حالت ψ=0 برقرار می‌باشد.

• ضرب نرده‌ای هر بردار ψ در خودش، یک عدد حقیقی مثبت است:
  

2-3- H تفکیک‌پذیر است.

یک دنباله‌ی کوشی

وجود دارد به طوری که برای هر ψ از فضای H و ε>0 ، حداقل یک ψn از دنباله وجود دارد که:
(8)

 

[P O U R I A]

2-4- H کامل است.

هر دنباله‌ی کوشی از عناصر

به یک عضو همگرا می‌شود. بدین معنا که برای هر ψn، رابطه‌ی:

(9)

یک حد یکتای ψ از H را تعریف می‌کند، به گونه‌ای که:

(10)

نکته: دنباله‌ی کوشی، دنباله‌ای از اعدادی است که تمام اعضای آن، به یک عدد خاص همگرا می‌شوند.

شکل 1- دنباله‌ی کوشی


حالت فیزیکی یک سیستم در مکانیک کوانتومی با عناصر فضای خطی هیلبرت نشان داده می‌شود. این عناصر بردارهای حالت نامیده می‌شوند.
شخصی به نام پل آدریان موریس دیراک (Paul Adrien Maurice Dirac)، نمادگذاری جمع و جور و قدرتمندی را معرفی کرد که هم در فضای برداری و هم در فضای هیلبرت کاربرد دارد. به هر تابع موج ψ یک بردار حالت

نسبت داده می‌شود که به آن «کت» گفته می‌شود. هم‌چنین به هر مزدوج مختلطِ تابع موجِ φ، یعنیφ* ، یک بردار حالت

نسبت داده می‌شود که «برا» نام دارد. ضرب داخلی(φ,ψ) ، با «برا-کت»

نشان داده می‌شود.

​

​

شکل 2- پل آدریان موریس دیراک (Paul Adrien Maurice Dirac)​

​

​

​

​

​

 

[P O U R I A]

همانند توابع موج، کت‌ها نیز عناصر فضای هیلبرت هستند. به ازای هر کت، «برا»ی یکتایی وجود دارد و برعکس. بردارهای برا، به یک فضای هیلبرتِ H * تعلق دارند؛ این فضا به عنوان فضای دوگانه‌ی فضای هیلبرتِ H متشکل از بردارهای کت، شناخته می‌شود.
کت، حالت یک سیستم را مشخص می‌کند و از این رو دانستن کت به معنای دانستن همه‌ی اطلاعات آن سیستم می‌باشد. می¬توان بردارهای حالت را با استفاده از بسط‌ توابع، در پایه‌های مختلف فضا بسط داد. پایه‌های فضا می‌تواند در فضای مکان، اندازه حرکت خطی، انرژی یا هر کمیت دیگر باشد. به طور مثال، بردار حالت یک ذره در زمان t با تابع موج فضایی

نشان داده می‌شود. در فضای موقعیت، ضرب نقطه‌ای

به صورت زیر است:

(11)

به همین ترتیب اگر فضای تکانه را انتخاب کنیم، حالت ذره با تابع موج توصیف می‌شود که تکانه‌ی

ذره است و ضرب نقطه‌ای

، به صورت زیر نوشته می شود:

(12)

3-1- خواص کت‌ها، براها و برا-کت‌ها

• هر«کت» دارای یک «برا»ی متناظر است.

به ازای هر «کت»

یک «برا»ی

متناظر، وجود دارد که با رابطه‌ی زیر داده می‌شود:

(13)

(14)

• خواص ضرب نرده‌ای

با توجه به اینکه در مکانیک کوانتومی حاصل ضرب نرده‌ای، یک عدد مختلط است، رعایت ترتیب در ضرب اهمیت دارد. باید دقت کرد که ضرب نرده‌ای از مزدوج مختلط آن متمایز است؛ یعنی

و

متفاوتند.

(15)

حالت

تنها زمانی اتفاق می‌افتد که

و

حقیقی باشند.

​

​

​

 

[P O U R I A]

ضرب نرده‌ای را می‌توان به دو صورت تعبیر کرد:
1. در تشابه به ضرب نرده‌ای بردارهای معمولی در فضای اقلیدسی که A.B بیانگر تصویر B روی بردار A است، ضرب

هم بیانگر تصویر

روی

می‌باشد.

کل 3- ضرب نرده‌ای

​

 

[P O U R I A]

2. در مورد حالت‌های بهنجار، کمیت

دامنه‌ی احتمالی را نشان می‌دهد که بعد از اندازه‌گیری روی سیستم ، حالت سیستمِ

در حالت دیگری مانند

پیدا شود.
نکته: حالت بهنجار حالتی است که انتگرال مجذور تابع موج مربوط به آن، برابر 1 باشد.

• نُرم (احتمال قرارگرفتن یک حالت بهنجارروی خودش) حقیقی و مثبت است. برای هر بردار حالت
  
  در فضای هیلبرت، نُرم
  
  حقیقی و مثبت است.
  
  فقط زمانی برابر صفر است که
  
  .
  

اگر حالت

بهنجار شود، آنگاه

است

• حالات تعامدد

دو کت

و

متعامد هستند اگر ضرب نرده‌ای آن‌ها بر

ابر با صفر باشد:

(16)

 

[P O U R I A]

• حالات متعامد-بهنجار
• ​

دو کت

و

را متعامد-بهنجار گویند اگر متعامد باشند و نرم هرکدام نیز برابر 1 باشد:

اگر

و

بردارهای مربوط به یک فضا باشند، ضرب‌های

و

ممنوع هستند. این ضرب‌ها هیچ معنایی ندارند چرا که نه برا هستند و نه کت. اما اگر

و

به دو فضای مختلف تعلق داشته باشند، آن‌گاه ضرب

، که به صورت

نوشته می‌شود، بیانگر یک ضرب تانسوری از

و

خواهد بود. تنها در این موارد است که چنین ضرب‌هایی معنا دارند.

 

[P O U R I A]

3-2- عملگرها
یک عملگر

، قانونی ریاضی است که وقتی روی کتی عمل می‌کند، آن را به کت دیگری در همان فضا تبدیل می‌نماید. به همین ترتیب وقتی یک عمگلر روی برا اثر می‌کند، آن را به «برا»ی دیگری تبدیل می‌نماید:

در زیر، چند عمگلر مهم در مکانیک کوانتومی معرفی شده است:

• عملگر یکانی:
  

• عملگر پاریته:
  

• عملگر اندازه حرکت خطی:
  

• عملگر لاپلاسی:
  

 

[P O U R I A]

3-2-1- مزدوج هرمیتی


• مزدوج هرمیتی ِعدد مختلط a که با[SUP]†[/SUP]a[SUP] [/SUP] نمایش داده می شود در واقع مزدوج مختلط آن عدد است:


(19)

• مزدوج هرمیتی یک عملگر که با نمایش داده می شود با رابطه زیر تعریف می‌گردد:


(20)

• به عملگری هرمیتی می گویند که با مزدوج هرمیتی خود برابر باشد، یعنی:

• عملگر

پادهرمیتی نامیده می‌شود اگر:

 

[P O U R I A]

ویژه مقادیر و ویژه توابع یک عملگر :

تمام مسائل در مکانیک کوانتومی در نهایت به حل یک معادله‌ی ویژه مقداری ختم می‌شود. بنابراین ویژه مقدارها و ویژه تابع‌ها خصوصیات مهمی هستند و آشنایی با آن‌ها در مکانیک کوانتومی امری ضروری است.

بردار حالت

ویژه بردار یا ویژه حالت و یا ویژه کتِ عملگر

نامیده می‌شود اگر اثر عملگر روی

به صورت زیر باشد:



(25)

معادله‌ی فوق به معادله‌ی ویژه مقداری معروف است که در آن a عددی مختلط بوده و ویژه مقدار عملگر نامیده می‌شود. جواب‌های این معادله، ویژه مقدارها و ویژه توابع عملگر می باشند. در ادامه روش حل معادلات ویژه مقداری شرح داده می شود.

4- نمایش ماتریسی کت‌ها، براها و عملگرها

در ابتدا به نمایش ماتریسی براها، کت‌ها و عملگرها، در پایه‌های گسسته پرداخته می¬شود و سپس این مطلب در پایه‌های پیوسته نیز مورد مطالعه قرار می‌گیرد.

4-1- نمایش ماتریسی در پایه‌های گسسته

همانند بسط در فضای اقلیدسی بر حسب بردارهای پایه، در مکانیک کوانتومی نیز لازم است که هر کت از فضای هیلبرت را بر حسب مجموعه‌ی کاملی از کت‌های پایه‌ی دو به دو متعامد- بهنجار بیان شود. بدین ترتیب، بردارهای حالت توسط مؤلفه‌هایشان در پایه‌ی مورد نظر، نمایش داده می‌شوند.

برای شروع، پایه‌ای گسسته، کامل و متعامد- بهنجار که از مجموعه‌ای نامتناهی از کت‌های

ساخته شده در نظر گرفته و با {

} نمایش داده می‌شود. شرط بهنجارش کت‌های پایه به صورت زیر بیان می‌گردد:


(26)

در رابطه‌ی بالا

دلتای کرونیکر است.

رابطه‌ی تمامیت (completeness relation) یا بستاری (closure relation) برای این پایه‌ها به صورت
(27)

نمایش داده می‌شود که در آن عملگر

واحد است. در واقع وقتی عملگر واحد روی یک کت اثر می‌کند، آن را بدون تغییر رها می‌کند.

 

[P O U R I A]

برای نمایش کت

به صورت ماتریسی، ابتدا به چگونگی نمایش آن در قالب پایه‌ی پرداخته می شود. با توجه به رابطه‌ی تمامیت، می‌توان بردار حالت

را بر حسب کت‌های پایه‌ی

بسط داد:

(28)

ضریب an، که برابر با

است، بیانگر تصویر

روی

می‌باشد؛ به عبارت دیگر، an مؤلفه‌ی

در امتداد بردار

است. به طور کلی ضرایب، اعداد مختلطی هستند که در پایه‌ی {

}، کت

در امتداد

به ترتیب توسط مجموعه‌ای از مؤلفه‌هایش یعنی a1، a2، a3 و ... نمایش داده می‌شود. به این ترتیب،

را می‌توان با ماتریسی ستونی که دارای تعداد نامتناهیِ قابل شمارشی از مؤلفه‌هاست، به صورت زیر، نشان داد:

به همین ترتیب، «برا»ی

نیز توسط یک بردار سطری نمایش داده می‌شود:

در نمایش ماتریسی مشاهده می‌کنیم که برا-کت

عددی مختلط و حاصل‌ضرب یک ماتریس ستونی متناظر با

و یک ماتریس سطری متناظر با

می‌باشد:

 

[P O U R I A]

برای هر عملگر

خطی می‌توانیم بنویسیم:
(32)

که

عنصر ماتریسی nm اُمِ عملگر است.
همانطور که قابل مشاهده است، عملگر

، در پایه‌ی {

} یک ماتریس مربعی A می‌باشد که از سطر و ستون‌های نامتناهی و قابل شمارش تشکیل شده است:
(33)

4-1-2- نمایش ماتریسی معادله‌ی ویژه مقداری
در این قسمت به نمایش ماتریسی معادله‌ی ویژه مقداری و حل آن پرداخته می شود. هدف پیدا کردنِ ویژه مقادیر a و ویژه توابع

عملگر

است که در معادله‌ی زیر صدق ‌کنند: (34)

با استفاده از رابطه‌ی تمامیت و ضرب کردن طرفین تساوی در

، معادله‌ی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

که در

آن به صورت زیر است:

(36)

معادله‌ی ویژه مقداری (25) را می‌توان به صورت زیر ساده کرد:
(37)

 

[P O U R I A]

معادله‌ی بالا نشان دهنده‌ی دستگاهی از بی‌نهایت معادله‌ی همگن است که برای ضرایب

تشکیل شده است. این دستگاهِ معادلات، تنها در صورتی جواب دارد که دترمینان ضرایب آن صفر باشد:

(38)

با فرض این‌که پایه‌ی {

} شامل N جمله باشد، می‌توان آن را به شکل زیر بازنویسی کرد:



(39)

معادله‌ی بالا به معادله‌ی ویژه یا معادله‌ی مشخصه معروف است که یک معادله‌ی مرتبه‌ی N-ام بر حسب a می‌باشد و جواب‌های آن ویژه مقادیر

را نتیجه می‌دهد. با به دست آوردن ویژه مقادیر عملگر

می‌توان ویژه توابع مربوط به هر ویژه مقدار را تعیین کرد.
نتیجه‌گیری
برای کمّی کردن مکانیک کوانتومی به فضایی با خصوصیات فضای هیلبرت نیاز است. طبق نمادگذاری دیراک در این فضا حالات ذرات توسط کت‌ها، براها و برا-کت‌ها توصیف می‌شود و اندازه‌گیری‌هایی که روی سیستم انجام می‌گیرد را تحت عنوان عملگر می‌شناسند. در حالت کلی دو نوع فرمول‌بندی برای حل مسائل مکانیک کوانتومی وجود دارد، یکی فرمول‌بندی در پایه‌های گسسته و دیگری فرمول‌بندی در پایه‌های پیوسته است.
مشاهده شد که هر کت به صورت یک ماتریس ستونی و هر برا به شکل یک ماتریس سطری نمایش داده می‌شود. در نمایش ماتریسی، عملگرها به شکل یک ماتریس مربعی ظاهر می‌شوند و در نتیجه‌ی آن معادله‌ی ویژه مقداری به حل یک دترمینان تبدیل می‌شود.